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Mathématiques 526-536:Fonctions à variables réelles

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Schémas

L'explication de certains concepts de cet article pourrait être facilitée en y ajoutant un ou plusieurs schémas ou graphiques.

Sommaire

1 Fonction réelle

[modifier] Fonction réelle

Une fonction réelle est une relation qui existe entre un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée et dont les valeurs des variables sont des nombres réels. Il est usuel de dire que dans une fonction, la variable $x$ est la variable indépendante tandis que la variable $y$ est la variable dépendante.

Attention: Une fonction ne peut avoir plus d'un $y$ pour un seul $x$ .

Domaine et codomaine

Domaine : ensemble des valeurs de la variable indépendante, ensemble de départ ( $x$ ).
Codomaine (ou image) : ensemble des valeurs de la variable dépendante, ensemble d'arrivée ( $y$ ).

Maximum et minimum

Maximum : valeur maximale de l'ensemble d'arrivée ( $y$ ).
Minimum : valeur minimale de l'ensemble d'arrivée ( $y$ ).

Zéros

Valeurs du domaine pour lesquelles la fonction prend la valeur ZÉRO.

Signes

Positive : intervalles des abscisses ( $x$ ) sur lesquels les ordonnées ( $y$ ) ont une valeur supérieure à zéro.
Négative : intervalles des abscisses ( $x$ ) sur lesquels les ordonnées ( $y$ ) ont une valeur inférieure à zéro.

Croissance et décroissance

Croissance : intervalles des abscisses ( $x$ ) sur lesquels les ordonnées ( $y$ ) augmentent ou restent stables.
Décroissance : intervalles des abscisses ( $x$ ) sur lesquels les ordonnées ( $y$ ) diminuent ou restent stables.

Valeur initiale

Valeur de l'ensemble d'arrivée ( $y$ ) à l'endroit où la fonction coupe l'axe des ordonnées.

Paramètres

Paramètre $a$ : étirement et réflexion verticaux.
Paramètre $b$ : étirement et réflexion horizontaux.
Paramètre $h$ : translation horizontale du sommet de la fonction.
Paramètre $k$ : translation verticale du sommet de la fonction.

[modifier] Opérations sur les fonctions

Il est possible de lier des fonctions ensemble en utilisant les opérateurs $+, -, \times, \div$ . On crée ainsi une nouvelle fonction. Le domaine de cette nouvelle fonction équivaut à l'intersection des domaines des deux fonctions initiales.

Exemple : Considérons les fonctions suivantes :

$f (x) = 3 x + 9$ , dont on limite le domaine à [-2,7]
$g (x) = 2 x 2$ , dont on limite le domaine à [5,15]

Le domaine de la fonction résultante de l'addition de ces fonctions, $f (x) + g (x)$ , sera alors : [5,7], soit l'intervalle commun aux deux fonctions initiales.

[modifier] Fonction constante

[modifier] Étude de la fonction de base

Règle : $f (x) = 1$
Graphique : droite horizontale
Domaine : $\R$
Codomaine : 1
Maximum : 1
Minimum : 1
Zéros : $\varnothing$
Positive : $\R$
Négative : $\varnothing$
Croissance : $\R$
Décroissance : $\R$
Valeur initiale : 1

[modifier] Étude de la fonction transformée

$f (x) = a$

Son taux de variation (et donc sa pente) est nécessairement nul. Le tracé de cette fonction est une ligne horizontale. Elle a soit aucun zéro ou soit infinité de zéros.

[modifier] Fonction du premier degré (linéaire)

[modifier] Étude de la fonction de base

Règle : $f (x) = x$
Graphique : droite oblique
Domaine : $\R$
Codomaine : $\R$
Maximum : $\varnothing$
Minimum : $\varnothing$
Zéros : 0
Positive : $[0,\infin[$
Négative : $]-\infin,0]$
Croissance : $\R$
Décroissance : $\varnothing$
Valeur initiale : 0

[modifier] Étude de la fonction transformée

$f (x) = a x + b$

Pour calculer le taux de variation de la pente (paramètre a), il suffit d'utiliser la formule : $\frac{y_2 -y_1}{x_2-x_1}$ .

[modifier] Fonction du deuxième degré (quadratique)

[modifier] Étude de la fonction de base

Règle : $f (x) = x 2$
Graphique : parabole
Domaine : $\R$
Codomaine : $[0, \infin[$
Maximum : $\varnothing$
Minimum : 0
Zéros : 0
Positive : $\R$
Négative : {0}
Croissance : $[0, \infin[$
Décroissance : $]-\infin, 0]$
Sommet : (0,0)
Valeur initiale : 0

[modifier] Étude de la fonction transformée

Règle de la forme générale : $f (x) = a x 2 + b x + c$

Règle de la forme canonique : $f (x) = a (x - h) 2 + k$

Passer à la forme canonique avec les paramètres de la forme générale.

$a=a~$

$h= \frac{-b}{2a}$

$k= \frac{4ac-b^2}{4a}$

Passer à la forme générale avec les paramètres de la forme canonique.

$a=a~$

$b=-2ah~$

$c=ah^2+k~$ [À vérifier]

[modifier] Fonction valeur absolue

[modifier] Étude de la fonction de base

La valeur absolue est une transformation rendant tout nombre positif, qu'il soit initialement négatif ou positif.

Règle : $f (x) = | x |$
Graphique : en forme de V
Domaine : $\R$
Codomaine : $[0, \infin[$
Maximum : $\varnothing$
Minimum : 0
Zéros : 0
Positive : $\R$
Négative : {0}
Croissance : $[0,\infin[$
Décroissance : $]-\infin,0]$
Sommet : $(0,0)$
Valeur initiale : 0

[modifier] Étude de la fonction transformée

$f(x) = a|x-h|+k~$

Ici, le paramètre $a$ constitue, en fait, le produit du paramètre $a$ et de la valeur absolue du paramètre ( $b$ ) de la forme $f(x)=a|b(x-h)|+k~$ .

[modifier] Fonction racine carrée

[modifier] Étude de la fonction de base

Règle : $f(x) = \sqrt{x}$
Graphique : Demi-parabole
Domaine : $[0, \infin[$
Codomaine : $[0, \infin[$
Maximum : $\varnothing$
Minimum : 0
Zéros : 0
Positive : $[0, \infin[$
Négative : {0}
Croissance : $[0, \infin[$
Décroissance : $\varnothing$
Sommet : (0,0)
Valeur initiale : 0

[modifier] Étude de la fonction transformée

$f(x) = a\sqrt{b(x-h)}+k$

où le paramètre $b$ vaut 1 ou -1.

[modifier] Fonction plus grand entier inférieur ou égal (en escalier)

[modifier] Étude de la fonction de base

Règle : $f(x) = [x]~$
Graphique : escalier
Domaine : $\R$
Codomaine : $\Z$
Maximum : $\varnothing~$
Minimum : $\varnothing~$
Zéros : $[0, 1[~$
Positive : $[0, \infin[$
Négative : $]-\infin, 1[$
Croissance : $\R$
Décroissance : $\varnothing$
Valeur initiale : 0

[modifier] Étude de la fonction transformée

Règle : $f (x) = a [b (x - h)] + k$

Le paramètre a influence la distance entre les segments et son signe déterminera si le graphique sera croissant ou décroissant.

Le paramètre b influence la grandeur des segments, et son signe déterminera si le segment sera ouvert ou fermé

Le paramètre h fait une translation horizontale des segments sur l'axe des abcisses (x)

Le paramèetre k fait une translation verticale des segments sur l'axe des ordonnées (y)

[modifier] Fonction rationnelle (homographique)

[modifier] Étude de la fonction de base

Règle : $f(x) = \frac{1}{x}$
Graphique : hyperbole
Domaine : $]-\infin, 0[~\cup~]0,\infin[$
Codomaine : $]-\infin, 0[~\cup~]0,\infin[$
Maximum : $\varnothing$
Minimum : $\varnothing$
Zéros : $\varnothing$
Positive : $]0,\infin[$
Négative : $]-\infin, 0[$
Croissance : $\varnothing$
Décroissance : $]-\infin, 0[~\cup~]0,\infin[$
Valeur initiale : $\varnothing$

[modifier] Étude de la fonction transformée

$f(x) = \frac{a}{b(x-h)}+k$

$f(x) = \frac{a_1x +b_1}{a_2x+b_2}$

[modifier] Changement de forme

Il existe une méthode pour passer de la forme $f(x) = \frac{a_1x +b_1}{a_2x+b_2}$ à la forme $f(x) = \frac{a}{b(x-h)}+k$ .
Voici cette méthode (méthode basée sur la division euclidienne):

Déterminer le nombre de fois, $n~$ , que le binôme $a_1x +b_1~$ entre dans $a_2x+b_2~$ .
Remplacer le binôme $a_1x +b_1~$ par la mutiplication du binôme $a_2x+b_2~$ et du nombre $n~$ , ainsi que par la différence entre le binôme $a_1x +b_1~$ et la valeur de $n(a_2x+b_2)~$ .
Le résultat de cette division est de la forme $n~ + \frac{b_1 - n b_2}{a_2x+b_2}$ avec les valeurs ci-dessous des paramètres a, b h et k :