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Calcul différentiel:Dérivée des fonctions trigonométriques

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Sommaire

1 Dérivée de la fonction sinus
2 Dérivée de la fonction cosinus
3 Dérivée de la fonction tangente
4 Dérivée de la fonction cosécante
5 Dérivée de la fonction sécante
6 Dérivée de la fonction cotangente
7 Applications de la dérivée à des fonctions trigonométriques

[modifier] Dérivée de la fonction sinus

$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} sin~x = cos~x$

[modifier] Dérivée de la fonction cosinus

$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} cos~x = -sin~x$

[modifier] Dérivée de la fonction tangente

$\frac{\mathrm d}{\mathrm d x} tan~x = \frac{1}{cos^2{x}} = sec^2{x}$

Preuve algébrique de la dérivée de la fonction tangente

Soit $f(x)=tan~x = \frac {sin~x}{cos~x}$ ,

Étapes	Démarches		Explications
1.	$f'(x)~$	$= \frac{(\sin~x)' \cdot \cos~x - \sin~x \cdot (\cos~x)'}{\cos^2x}$	Règle de la dérivée d'un quotient.
2.		$= \frac{\cos~x \cdot \cos~x - \sin~x \cdot (-\sin~x)}{\cos^2x}$	Dérivée des fonctions sinus et cosinus.
3.		$= \frac{\cos^2x + \sin^2x}{\cos^2x}$	Distribution.
4.		$= \frac{1}{\cos^2x}$	On substitue $\cos^2x + \sin^2x~$ par la valeur $1~$ , obtenue grâce à l'identité $\sin^2x + \cos^2x = 1~$ .
5.		$= \left(\frac{1}{\cos~x}\right)^2$	On factorise.
5.		$= (\sec~x)^2$	On substitue la fraction $\frac{1}{\cos~x}$ par son équivalence $\sec~x$ .
6.		$= \sec^2x~$	On distribue l'exposant.