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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle:Opérations sur les matrices

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Sommaire

[modifier] Addition et soustraction

Une addition matricielle (addition de matrices) peut être réalisée entre deux matrices de même format.
Si l'on désire additionner deux matrices de type (m,n), on doit réaliser la somme des éléments correspondants.

Exemple :

A + B = C

Matrice A = a_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}

Matrice B = b_{i,j} = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}

Les éléments de la matrice C sont donc définis par l'équation suivante : c_{i,j} = a_{i,j} + b_{i,j}~

Matrice C = c_{i,j} = \begin{bmatrix} 1+7 & 2+8 \\ 3+9 & 4+10 \\ 5+11 & 6+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 10 \\ 12 & 14 \\ 16 & 18 \end{bmatrix}


On ne peut additionner les matrices que si et seulement si elles ont le même format. Donc, pour faire l'addition de la matrice A = [a_{i,j}]_{m \times n} sur la matrice B = [b_{k,l}]_{p \times q}, il faut nécessairement que m = p et que n = q.

Dans le cas de la soustraction matricielle (soustraction de matrices), cela fonctionne sous le même principe. Par exemple, avec les mêmes matrices,

A - B = C

Matrice C = c_{i,j} = \begin{bmatrix} 1-7 & 2-8 \\ 3-9 & 4-10 \\ 5-11 & 6-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & -6 \\ -6 & -6 \\ -6 & -6 \end{bmatrix}

[modifier] Multiplication par un scalaire

Lorsque qu'une matrice est multipliée par un scalaire, il suffit de multiplier chaque élément par ce scalaire.

Soit, la matrice A multipliée par un scalaire:

\begin{align} A=\begin{bmatrix} 1 &3 &9\\ 1 &4 &16\\ 1 &5 &25 \end{bmatrix}\\ 3A = \begin{bmatrix} 3(1) &3(3) &3(9)\\ 3(1) &3(4) &3(16)\\ 3(1) &3(5) &3(25) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 &9 &27\\ 3 &12 &48\\ 3 &15 &75 \end{bmatrix} \end{align}

[modifier] Transposition

On obtient la matrice transposée d'une matrice A en interchangeant les lignes et les colonnes de cette dernière. Sa forme initiale A = [a_{i,j}]_{m \times n} deviendra donc A^t = [a_{j,i}]_{n \times m}

Soit, la matrice A qui devient la matrice At.


A=\begin{bmatrix} 0 &1 &2\\ 0 &2 &4\\ 0 &3 &6\\ 0 &4 &8 \end{bmatrix} \Rightarrow A^t=\begin{bmatrix} 0 &0 &0 &0\\ 1 &2 &3 &4\\ 2 &4 &6 &8 \end{bmatrix}

[modifier] Produit matriciel

Le produit matriciel est une opération non-commutative. Cela signifie donc que A \times B \neq B \times A.
De plus, pour que le produit matriciel soit possible, il faut que la première matrice ait le même nombre de colonnes que le nombre de lignes de la deuxième matrice.
Il est donc possible de multiplier la matrice A_{i \times j} avec la matrice B_{k \times l}, si, et seulement si, j = k~.

Explication textuelle : L'opération en soi consiste à multiplier les éléments des lignes de la première matrice avec les éléments des colonnes de la deuxième et de réaliser la sommation pour chacune de ces correspondances.
Plus précisément, il faut multiplier le premier élément de la première ligne de la première matrice avec le premier élément de la première colonne de la seconde matrice, puis multiplier le deuxième élément de la première ligne de la première matrice avec le deuxième élément de la première colonne de la deuxième matrice, et ainsi de suite, jusqu'à la fin de la première ligne de la première matrice, puis on recommence le même principe, mais, cette fois, en multipliant la première ligne de la première matrice avec la seconde colonne de la seconde matrice. Lorsque toutes les colonnes de la deuxième matrice sont épuisées, on passe à la deuxième ligne de la première matrice et on recommence le processus jusqu'à ce qu'on ait multiplié toutes les lignes de la première matrice avec toutes les colonnes de la seconde.


Ne vous découragez pas! L'explication précédente est, certes, beaucoup trop complexe pour être efficace, alors nous utiliserons une approche plus visuelle, soit la multiplication suivante :

A_{{\color{Blue}2} \times {\color{Red}3}} \times B_{{\color{Red}3} \times {\color{Blue}2}} = C_{i,j}


Il faut d'abord déterminer s'il est possible d'effectuer le produit de ces deux matrices en vérifiant si la première matrice a le même nombre de colonnes que le nombre de lignes de la deuxième matrice.
La première matrice possède {\color{Red}3} colonnes.
La seconde matrice possède {\color{Red}3} lignes.
Résultat : il est possible d'effectuer le produit matriciel présent.


Il existe une technique pour déterminer les valeurs de i~ et de j~ sans avoir à faire de calculs. En effet, la matrice résultante aura toujours le même nombre de lignes que la première matrice et le même nombre de colonnes que la deuxième. Dans le cas présent, on pourra donc déduire que la matrice C aura un format {\color{Blue}2} \times {\color{Blue}2}~.

A_{2 \times 3}=\begin{bmatrix} a_{1,1} &a_{1,2} &a_{1,3}\\ a_{2,1} &a_{2,2} &a_{2,3}\\ \end{bmatrix}~~~~~ B_{3 \times 2}=\begin{bmatrix} b_{1,1} &b_{1,2}\\ b_{2,1} &b_{2,2}\\ b_{3,1} &b_{3,2} \end{bmatrix}~~~~~ C_{2 \times 2}=\begin{bmatrix} c_{1,1} &c_{1,2}\\ c_{2,1} &c_{2,2} \end{bmatrix}

Multiplication de la 1ère ligne de la matrice A
avec la 1ère colonne de la matrice B


(a_{1,1} \times b_{1,1}) + (a_{1,2} \times b_{2,1}) + (a_{1,3} \times b_{3,1}) = c_{1,1}
Multiplication de la 1ère ligne de la matrice A
avec la 2e colonne de la matrice B


(a_{1,1} \times b_{1,2}) + (a_{1,2} \times b_{2,2}) + (a_{1,3} \times b_{3,2}) = c_{1,2}
Multiplication de la 2e ligne de la matrice A
avec la 1ère colonne de la matrice B


(a_{2,1} \times b_{1,1}) + (a_{2,2} \times b_{2,1}) + (a_{2,3} \times b_{3,1}) = c_{2,1}
Multiplication de la 2e ligne de la matrice A
avec la 2e colonne de la matrice B


(a_{2,1} \times b_{1,2}) + (a_{2,2} \times b_{2,2}) + (a_{2,3} \times b_{3,2}) = c_{2,2}


La formule pour multiplier deux matrices A = [a_{i,j}]_{m \times n} et B = [b_{i,j}]_{n \times p} ensemble est la suivante: AB =[\sum_{k=1}^n a_{i,k} b_{k,j}]_{m \times p}

[modifier] Propriétés du produit matriciel

  1. Le produit matriciel est une opération non-commutative. AB \neq BA~
  2. Le produit matriciel est une opération associative. (AB)C = A(BC)~
  3. La multiplication d'un scalaire par un produit matriciel peut être distribuée à l'une ou l'autre des matrices. r(AB)=(rA)B = A(rB)~
  4. Le produit matriciel possède un élément neutre, la matrice identité. A_{m\times n}I_{n} = A_{m\times n}~ et I_mA_{m\times n} = A_{m\times n}~
  5. Le produit matriciel est distributif par rapport à l'addition (et la soustraction). A(B+C) = AB + AC~ et (A+B)C = AC + BC~
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