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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle:Nombres complexes

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Les nombres complexes sont des objets mathématiques qui furent inventés par les mathématiciens dans le but de contourner certaines difficultés. L'ensemble des nombres complexes est noté $\mathbb C$ et on le définit ainsi : $\mathbb C = \{a+bi|~a~\mathrm{et}~b \in \mathbb{R}~\mathrm{et}~i^2 = -1\}$ .

Lorsqu'on désire représenter un nombre complexe, on utilise généralement la lettre z pour symbole.

[modifier] Forme cartésienne

La forme cartésienne, aussi appelée binomiale/rectangulaire/algébrique, d'un nombre $z~$ se note : $z= a + bi~$ .

La forme cartésienne se décompose en deux parties :

La partie réelle d'un nombre complexe $z= a + bi~$ est la valeur $a~$ . On note cette partie $\mathrm{Re}(z) = a~$ .
La partie imaginaire d'un nombre complexe $z= a + bi~$ est la valeur $b~$ . On note cette partie $\mathrm{Im}(z) = b~$ .

[modifier] Représentation géométrique

Plan d'Argand

Il est possible de représenter un nombre complexe dans un système d'axe en considérant la partie réelle et la partie imaginaire comme les composantes d'un vecteur algébrique.

On nomme plan d'Argand ou plan des complexes le plan dans lequel l'axe horizontal représente la partie réelle et l'axe verticale représente la partie imaginaire d'un nombre complexe.

Il est donc possible de tracer un vecteur algébrique dans ce plan qui représente un nombre complexe en représentant le paramètre $a~$ de la forme cartésienne sur l'axe horizontal et le paramètre $b~$ sur l'axe vertical.

[modifier] Opérations

Pour l'explication des différentes opérations sur les nombres complexes, nous utiliserons les nombres complexes suivants $z_1=a_1+b_1i~$ et $z_2=a_2+b_2i~$ , ainsi que le nombre réel $k~$ .

[modifier] Égalité entre deux nombres complexes

$z_1=z_2~$ si et seulement si $a_1=a_2~$ et $b_1=b_2~$

[modifier] Addition de nombres complexes

$z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i \in \mathbb C~$

[modifier] Soustraction de nombres complexes

$z_1-z_2=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i \in \mathbb C~$

[modifier] Multiplication d'un nombre complexe par un scalaire réel

$k\cdot z_1 = k\cdot a_1 + k \cdot b_1i \in \mathbb C$

[modifier] Multiplication de deux nombres complexes

$\begin{align} z_1 \cdot z_2 &= (a_1 + b_1 i)(a_2 + b_2 i)\\ &=(a_1\cdot a_2) + (a_1 \cdot b_2i) + (a_2\cdot b_1i) + (b_1b_2i^2)\\ &=(a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i \in \mathbb C \end{align}$

[modifier] Conjugué

Le conjugué du nombre complexe $z = a + bi~$ , qu'on note $\overline{z}$ , se définit ainsi : $\overline{z} = a-bi$ . Ce nombre est donc, lui aussi, un nombre complexe.

Si l'on multiplie le nombre complexe $z~$ par son conjugué $\overline{z}$ , on obtient un nombre réel. La démonstration suivante prouve ce fait :

$\begin{align} z\cdot \overline{z} &=(a+bi)(a-bi)\\ &=a^2 - abi + abi - b^2i^2\\ &=a^2 -b^2\cdot(-1)\\ &=a^2 + b^2 \in \mathbb{R} \end{align}$

[modifier] Module

Le module d'un nombre complexe est un nombre réel. On le note $|z|~$ et il est défini ainsi : $|z|~=\sqrt{a^2+b^2}$ .

Il est possible d'observer que le module du nombre $z~$ est la racine carrée du produit de $z~$ et de son conjugué : $|z| = \sqrt{z\cdot \overline{z}} = \sqrt{a^2+b^2}$ .

D'une approche trigonométrique, on identifie aussi le module d'un nombre complexe par la lettre grecque $\rho~$ (rho).

[modifier] Division de deux nombres complexes

La démonstration qui suit prouve que l'inverse d'un nombre complexe est égal au conjugué de ce nombre divisé par le carré de son module :

$\begin{align}\frac{1}{z} &= \left(\frac{1}{z}\right)\left(\frac{\overline{z}}{\overline{z}}\right)\\ &= \left(\frac{1}{a+bi}\right)\left(\frac{a-bi}{a-bi}\right)\\ &= \frac{a-bi}{a^2+b^2}\\ &= \frac{\overline{z}}{{|z|}^2}\\ \end{align}$

Comme la division n'est qu'une multiplication par l'inverse d'un nombre, nous pouvons donc ainsi trouver le résultat d'une division de nombres complexes :

$\frac{z_1}{z_2} = z_1 \cdot \frac{1}{z_2} = z_1 \cdot \frac{\overline{z_2}}{{|z_2|}^2} = {\color{blue}{\frac{z_1 \overline{z_2}}{{|z_2|}^2}}}$

[modifier] Argument

Ce que l'on nomme l'argument d'un nombre complexe est, en fait, la valeur de l'angle que l'on mesure entre l'axe des réels positifs et le vecteur représentant le nombre complexe, dans un sens anti-horaire.
En fait, l'argument d'un nombre complexe équivaut à la mesure de la direction du vecteur qui le représente.

On représente cet angle par la lettre grecque $\theta~$ (theta). On note l'argument d'un nombre complexe $z~$ ainsi :
$\mathrm{Arg}(z)=\theta~$