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Algèbre linéaire et géométrie vectorielle:Droite et plan de l'espace

Un article de WikiÉduQuébec.

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Schémas

Image:icone schema.png L'explication de certains concepts de cet article pourrait être facilitée en y ajoutant un ou plusieurs schémas ou graphiques.

Sommaire

[modifier] Droite de l'espace

[modifier] Types de droites

  • Parallèles
  • Perpendiculaires
  • Non-parallèles et ne se coupent pas : gauches
  • Non-parallèles et se coupent: concourantes

[modifier] Équation vectorielle

Un vecteur directeur est un vecteur parralèle à une droite.

\begin{bmatrix} x &y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 &p_2 &p_3 \end{bmatrix} + k\begin{bmatrix} d_1 &d_2 &d_3 \end{bmatrix}

  • où P(p_1,~p_2,~p_3)~ est un point par lequel passe la droite.
  • où \vec{d}=\begin{bmatrix} d_1 &d_2 & d_3 \end{bmatrix} est un vecteur directeur.

[modifier] Équations paramétriques

x = p_1 + kd_1~
y = p_2 + kd_2~
z = p_3 + kd_3~

  • où k \in \mathbb{R}
  • où P(p_1,~p_2,~p_3)~ est un point par lequel passe la droite.
  • où \vec{d}=\begin{bmatrix} d_1 &d_2 &d_3 \end{bmatrix} est un vecteur directeur.

[modifier] Équations symétriques

\frac{x - p_1}{d_1} = \frac{y - p_2}{d_2} = \frac{z - p_3}{d_3}

  • où P(p_1,~p_2,~p_3)~ est un point par lequel passe la droite.
  • où \vec{d}=\begin{bmatrix} d_1 &d_2 &d_3 \end{bmatrix} est un vecteur directeur.
  • où d_1 \neq 0, d_2 \neq 0 et d_3 \neq 0

[modifier] Plan de l'espace

[modifier] Équation cartésienne

\pi : ax + by + cz = d~

  • où d = ap_1 + bp_2 + cp_3~;
    • où P(p_1,p_2,p_3)~ est un point par lequel passe le plan \pi~;
  • où \vec{n}=\begin{bmatrix} a &b &c \end{bmatrix} est un vecteur normal au plan \pi~.

[modifier] Équation normale

\pi : \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}y + \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}z = h~

  • où \vec{n}=\begin{bmatrix} a &b &c \end{bmatrix} est un vecteur normal au plan \pi~.
  • où h = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}p_1 + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}p_2 + \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}p_3
    • où P(p_1,p_2,p_3)~ est un point par lequel passe le plan \pi~.

[modifier] Équation vectorielle

\pi: \begin{bmatrix} x &y &z \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} p_1 &p_2 &p_3 \end{bmatrix} +r\begin{bmatrix} u_1 &u_2 &u_3 \end{bmatrix} +s\begin{bmatrix} v_1 &v_2 &v_3 \end{bmatrix}

  • où r\in \mathbb{R}~ et s \in \mathbb{R}~
  • où \vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 &u_2 &u_3 \end{bmatrix} et \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 &v_2 &v_3 \end{bmatrix} sont des vecteurs linéairement indépendants entre eux, mais parallèles au plan \pi~.
  • où P(p_1,p_2,p_3)~ est un point par lequel passe le plan \pi~.

[modifier] Équations paramétriques

x = p_1 + ru_1 +sv_1~

y = p_2 + ru_2 +sv_2~

z = p_3 + ru_3 +sv_3~

  • où r\in \mathbb{R}~ et s \in \mathbb{R}~
  • où \vec{u} = \begin{bmatrix} u_1 &u_2 &u_3 \end{bmatrix} et \vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 &v_2 &v_3 \end{bmatrix} sont des vecteurs linéairement indépendants entre eux, mais parallèles au plan \pi~;
  • où P(p_1,p_2,p_3)~ est un point par lequel passe le plan \pi~.

[modifier] Distance d'un plan à l'origine

Il est très facile de trouver la distance entre un plan et l'origine lorsque l'on possède l'équation normale de ce plan.
En effet, la distance plan\leftrightarroworigine est égale à la valeur absolue du paramètre h~.

\mathrm{Distance~plan\leftrightarrow origine} = |h|

[modifier] Distance entre un point et un plan/ distance entre deux plans parallèles

Pour trouver la distance entre un point et un plan, il faut calculer la norme de la projection du vecteur formé à partir d'un point du plan et du point externe sur un vecteur normal au plan.

\mathrm{Distance~point\leftrightarrow plan} = \left|\left|\overrightarrow{QP_{\overrightarrow{n}}}\right|\right| = \left|\left| \frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{\vec{n}\cdot \vec{n}} \vec{n} \right|\right|

  • où Q~ est le point externe au plan,
  • où P~ est un point du plan,
  • où \vec{QP} est le vecteur formé à partir des points Q~ et P~,
  • où \vec{n} est un vecteur normal au plan.

Pour calculer la distance entre deux plans parallèles, il suffit de trouver un point sur l'un des plans pour ensuite appliquer la formule permettant de trouver la distance entre un point et un plan.

[modifier] Point d'un plan le plus rapproché d'un point externe au plan

Si l'on désire trouver le point R~, point interne au plan \pi~, le plus rapproché du point externe Q~, il est nécessaire de trouver un autre point interne au plan \pi~, que nous nommerons le point P~. Pour ce faire, il ne suffit que de remplacer les valeurs de x,y et z dans l'équation du plan \pi~ de façon à ce que l'égalité soit respectée. Une fois ce point P~ trouvé, il nous faut construire le vecteur \vec{QP} et en faire la projection sur un vecteur normal \vec{n} au plan \pi~. Le résultat de cette projection nous donne le vecteur \vec{QR} et il ne nous reste plus qu'à additionner ce vecteur au point Q~ pour trouver la valeur du point R~, soit le point interne le plus rapproché du point externe Q~.

R = \overrightarrow{QP_{\overrightarrow{n}}} + Q = \frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{\vec{n}\cdot \vec{n}} \vec{n} + Q

  • où R~ est le point du plan le plus rapproché du point externe Q~,
  • où Q~ est le point externe au plan,
  • où P~ est un point du plan,
  • où \vec{QP} est le vecteur formé à partir des points Q~ et P~,
  • où \vec{n} est un vecteur normal au plan \pi~.

[modifier] Angle entre une droite et un plan

L'angle entre une droite \Delta~ et un plan \pi~, l'angle \theta~, est défini par cette équation :

\theta = arcsin{\frac{|\vec{n}\cdot \vec{d}|}{\|\vec{n}\|\|\vec{d}\|}}

  • où \vec{n}~ est un vecteur normal au plan \pi~;
  • où \vec{d}~ est un vecteur directeur de la droite \Delta~.

[modifier] Distance entre deux droites gauches

Pour calculer la distance entre deux droites gauches
\Delta_1 : \begin{bmatrix} x &y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p_1 &p_2 & p_3 \end{bmatrix} +k \begin{bmatrix} d_1 &d_2 & d_3 \end{bmatrix}
et
\Delta_2 : \begin{bmatrix} x &y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_1 &q_2 & q_3 \end{bmatrix} +k \begin{bmatrix} d_4 &d_5 & d_6 \end{bmatrix} :


  1. Il faut d'abord faire le produit vectoriel entre les vecteurs directeurs de chacune de ces droites de façon à trouver un vecteur, que nous nommerons \vec{n}~, perpendiculaire à chacune d'elles.
  2. À l'aide de ce vecteur \vec{n}~, nous pourrons par la suite construire l'équation d'un plan \pi_1~ contenant la droite \Delta_1~. (Il aurait aussi été possible de construire un plan avec la droite \Delta_2~ plutôt que la droite \Delta_1~. C'est à votre discrétion de choisir laquelle vous préférez, mais pour l'exemple présent nous utiliserons la droite \Delta_1~ et le plan \pi_1~.)
  3. Une fois l'équation de ce plan trouvée, il ne nous reste plus qu'à trouver la distance entre un point de la droite \Delta_2~, soit le point Q(q_1,q_2,q_3)~, et le plan \pi_1~. (Voir plus haut Distance entre un point et un plan/ distance entre deux plans parallèles.)

[modifier] Intersection de deux ou plusieurs plans

L'équation d'un plan, sous la forme cartésienne, est, en fait, une équation avec 3 inconnus. Pour connaître la ou les intersections entre plusieurs plans, s'il y en a, il suffit de créer un système d'équations à partir des équations de chacun de ces plans et de le résoudre. Les techniques de résolution d'équations à l'aide de matrices vues au Chapitre 4 peuvent s'avérer utiles.

Il est possible que le système d'équations linéaires ainsi formé n'admette aucune solution, une seule solution ou encore, une infinité de solutions.

[modifier] Angle entre deux plans

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